Zufallsvariable

Zufallsvariable

  • 5. Februar 2018
  • Posted by: Mika
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Eine Zufallsvariable ordnet Ereignissen reelle Zahlenwerte zu. Genauer gesagt kann ein Zufallsexperiment zu n verschiedenen möglichen Ausgängen führen, nämlich zu allen Ereignissen E_1 bis E_n des Ergebnisraum \Omega. Um diese rechnerisch handhaben zu können, werden den Ereignissen reelle Zahlen zugeordnet.

    \begin{equation*} X: \Omega \to \mathbb{R} \end{equation*}

In einer Kiste sind rote, gelbe und blaue Kugeln. Stell Dir zum Beispiel vor, Dein Zufallsexperiment besteht darin, eine Kugel zu entnehmen, ohne in die Kiste hineinzuschauen. Das Ergebnis des Zufallsexperimentes ist dann die Farbe der entnommenen Kugel. Dein Ergebnisraum ist also:

    \begin{equation*} \Omega = \{rot, gelb, blau\}\end{equation*}

Jetzt ordnest Du jeder Farbe (willkürlich) einen Zahlenwert zu, etwa 1: rot, 2: gelb und 3: blau.
Deine Zufallsvariable X ist gerade die Zuordnung der Farben zu den Farbnummern, sie kann also hier die Werte 1, 2 oder 3 annehmen.

    \begin{equation*} X: \{rot, gelb, blau\} \to \{1,2,3\} \end{equation*}

Tritt ein bestimmtes Ereignis ein, so sprichst Du von der Realisation x der Zufallsvariablen X. Üblicherweise schreibst Du die Zufallsvariable in Großbuchstaben, ihre Realisation zur Unterscheidung dagegen in Kleinbuchstaben.

Verschiedene Arten von Zufallsvariablen

Kann Deine Zufallsvariable nur zwei Realisationen annehmen, etwa beim Münzwurf: Kopf oder Zahl oder bei einer Stellenbewerbung: Zu- oder Absage, so hast Du eine Bernoulli-Variable vorliegen.

Kann sie endlich viele Realisationen annehmen, sprichst Du von einer diskreten Zufallsvariablen. Beispiele hierfür sind das Werfen eines Würfels mit den Realisationen der sechs Augenzahlen, das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 32 Karten oder die Ausstiegstationen der Fahrgäste eines Zuges.

Stetige Zufallsvariablen können dagegen in einem Bereich unendlich viele verschiedene Werte annehmen. Das können zum Beispiel Maße wie Gewicht oder Größe sein. Diese nehmen mit fortschreitender Vergrößerung der Messskala theoretisch immer mehr unterschiedliche Werte an.