Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion

  • 16. April 2018
  • Posted by: Mika
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Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable gibt für einen beliebigen Wert x die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Beobachtung kleiner oder gleich x realisiert wird.

    \begin{equation*} F(x) = Prob (X \le x) \end{equation*}

Darstellung der Verteilungsfunktion als Integral

Für diskrete Zufallsvariablen lässt sich dies einfach als Summe darstellen. Im stetigen Fall erhältst Du sie dagegen durch Integrieren ihrer Dichtefunktion f(x), die angibt, wie dicht die Beobachtungswerte um den Wert x herum liegen:

    \begin{equation*} F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(x) \nobreakspace dx, \quad f\"ur \nobreakspace x \in \mathbb{R} \end{equation*}

Eigenschaften der Verteilungsfunktion

Für jede Verteilungsfunktion gilt:
Sie ist monoton steigend: Hast Du zwei Werte a und b und ist a < b, dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Wert kleiner als a beobachtet wird, kleiner oder gleich derjenigen, mit der ein Wert kleiner als b realisiert wird:

    \begin{equation*} F(b) \ge F(a), \quad f\"ur \nobreakspace alle \nobreakspace b > a \end{equation*}

F(x) ist rechtsseitig stetig, das heißt man findet für jeden Wert ein kleines Intervall rechts davon ohne Sprungstelle. Dies spielt übrigens vor allem für theoretische mathematische Beweise oder bei diskreten Verteilungen eine Rolle. Drückt man die Rechtsstetigkeit zudem als Formel aus, so gilt für beliebig kleine \delta:

    \begin{equation*} F(x+\delta) = F(x), \quad f\"ur \nobreakspace \delta \to 0 \end{equation*}

Die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als \-infty zu beobachten, ist die Wahrscheinlichkeit für das unmögliche Ereignis und beträgt folglich Null; die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als \+infty zu verzeichnen, bezieht sich auf das sichere Ereignis und beträgt dementsprechend eins.

    \begin{equation*} F(-\infty) = 0 \quad und \quad F(+\infty) = 1 \end{equation*}

Je nach Art des betrachteten Zufallsexperimentes und den Eigenschaften der zugehörigen Zufallsvariablen bestimmen sich weitere Eigenschaften und die Werte der Verteilungsfunktion.