Exponentialverteilung

Exponentialverteilung

  • 16. April 2018
  • Posted by: Mika
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Mit der Exponentialverteilung hast Du eine stetige Verteilung gegeben, die für nicht negative reelle Zahlen definiert ist zudem das stetige Pendant zur diskreten geometrischen Verteilung darstellt. Du verwendest Sie vor allem, um Aussagen über die Länge zufälliger Zeitintervalle zu bestimmen, zum Beispiel wie lange es dauert, bis eine Maschine defekt ist oder bis der nächste Telefonanruf eingeht.

Beschreibung der Exponentialverteilung

Bezeichnest Du mit \lambda die mittlere Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit, so lautet die Dichtefunktion der Exponentialverteilung:

    \begin{equation*} f(x;\lambda)=\begin{cases} \lambda \cdot e^{-\lambda x}, \quad f\"ur \nobreakspace x\ge 0 \\ \\ 0 \quad sonst \end{cases} \end{equation*}

,

Ihre Verteilungsfunktion ergibt sich durch Integration zu

    \begin{equation*} F(x;\lambda)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, \quad f\"ur \nobreakspace x\ge 0 \\ \\ 0 \quad sonst \end{cases} \end{equation*}

Die linke Grafik zeigt den Verlauf der Dichtefunktion in Abhängigkeit vom Parameter \lambda, die rechte Grafik dagegen den der Verteilungsfunktion.

Exponentialverteilung

Anwendungsbeispiel

Stell Dir beispielsweise vor, Du verwendest die Exponentialverteilung, um die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Längen des Zeitintervalls bis zum nächsten Telefonanruf zu betrachten. Je mehr Anrufe Du im Mittel pro Zeiteinheit erhältst, je größer also \lambda ist, umso wahrscheinlicher ist es, dass nur ein kurzes Zeitintervalle bis zum nächsten Anruf vergeht. Erhältst Du im Mittel wenige Anrufe pro Zeitintervall, ist also \lambda klein, steigt die Wahrscheinlichkeit für längere Zeitintervalle. Entsprechend verlaufen Dichte- und Verteilungsfunktion in den Grafiken umso steiler, je größer \lambda ist.

Die Exponentialverteilung ist ein Spezialfall des rechten Armes der Laplace-Verteilung.

Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung sind

    \begin{equation*} E(X) = \frac 1 {\lambda} \quad und \quad Var(X) = \frac 1 {\lambda^2} \end{equation*}

Verwendest Du die – einfach handhabbare – Exponentialverteilung zur Beschreibung der Lebensdauer von Maschinen, so ist der fixe Wert von \lambda insofern problematisch, als Einsatzintensität und Alter der Geräte nicht mit in die Überlegungen eingehen. Hier stellt die Weibull-Verteilung eine bessere Alternative dar.