Poisson-Verteilung

Poisson-Verteilung

  • 16. April 2018
  • Posted by: Mika
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Du verwendest die Poisson-Verteilung, wenn Du ein Bernouilli-Experiment n mal unabhängig voneinander durchführst und eine sehr kleine Erfolgswahrscheinlichkeit p vorliegt. Sie liefert Dir dann die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis bei n Wiederholungen in einem Zeitintervall genau k mal beobachtet wird. Wegen der kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit wird die Poisson-Verteilung auch Verteilung der seltenen Ereignisse genannt.

Beispiel für eine Poisson-Verteilung

Eine regionale Kfz-Versicherung benötigt zum Beispiel für die Erstellung ihrer Tarife die Wahrscheinlichkeiten, mit denen in einem Jahr 1, 2 oder 3 Autos einen Unfall haben. Aus den vorherigen Jahren kennst Du die Unfallwahrscheinlichkeit für ein Auto als p = 0,000445. Dann kannst Du bei bekanntem n, etwa n=10000 Autos, die erwartete Anzahl von Unfällen als

    \begin{equation*} E(X) = n \cdot p = 10000 \cdot 0,000445=4,45 \stackrel{!}{=} \lambda \end{equation*}

berechnen. Diese erwartete Anzahl von Unfällen bezeichnest Du weiterhin als \lambda. Sie geht dann in die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion ein, welche lautet:

    \begin{equation*} P(X=k) = \frac {\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda} \quad und \quad Prob(X \le m) = \sum_{k=1}^m \frac {\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda} \end{equation*}

Damit kannst Du für Dein Beispiel die Wahrscheinlichkeit errechnen, mit der genau k Unfälle auftreten; Kumulierend erhältst Du dementsprechend Deine Verteilungsfunktion:

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Wahr-
scheinlich-
keits-
funktion		 0,012 0,052 0,116 0,172 0,191 0,170 0,126 0,080 0,045 0,022 0,010 0,004 0,001
Ver-
teilungs-
funktion		 0,012 0,064 0,179 0,351 0,542 0,711 0,837 0,917 0,962 0,984 0,994 0,998 0,999

Grafische Darstellung

Poisson Verteilung

Die Poisson-Verteilung, die nur von \lambda abhängt, liegt übrigens tabelliert vor. Sie benötigt zudem die gleichen Voraussetzungen wie die Binomialverteilung und wird bei sehr kleinem p eingesetzt. Damit brauchst Du sie für

  • punktuelle Ereignisse im Zeitverlauf, wie beispielsweise Geburten, vorbeifahrende Autos, Telefonanrufe, etc.,
  • die unabhängig voneinander sind (Bernouilli-Experiment), und
  • deren Intensität im Zeitverlauf konstant ist.