Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wozu benötigt man Wahrscheinlichkeitsverteilungen? Dazu musst Du zunächst einmal Deine Zufallsvariable betrachten. Diese ist eine Zuordnung aller möglichen Ausgänge des Ergebnisraums Deines Zufallsexperiments auf reelle Zahlenwerte, mit denen Du Rechenoperationen durchführen kannst.

   

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt Dir dann an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ausgänge des Experiments verteilen.
Genauer gesagt, ist das Wahrscheinlichkeitsmaß P eine Zuordnung der möglichen Werte der Zufallsvariablen in auf reelle Zahlen im Intervall [0;1].

   

Dabei unterscheidest Du diskrete Verteilungen von von stetigen Verteilungen.

Unterschied zwischen diskreter und stetiger Verteilung

Im ersten Fall nimmt Deine Zufallsvariable endlich oder abzählbar viele Ausprägungen an. Dann kannst Du ihre Verteilung beschreiben durch die

• Wahrscheinlichkeitsfunktion, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine mögliche Ausprägung x auftritt, und die
• Verteilungsfunktion als kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion, die die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Wertes kleiner oder gleich x angibt.

Im Fall einer stetigen Zufallsvariablen mit unendlich vielen möglichen Ausprägungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Wert eintritt, für alle Werte Null. Anschaulich kann man sich das so vorstellen, dass zu jedem Wert unendlich viele Werte in der unmittelbaren Nähe liegen und es daher nur Sinn ergibt über Bereiche Aussagen zu machen. Ihre Verteilung wird dann beschrieben durch die

• Dichtefunktion, deren Wert ein Maß dafür ist, wie dicht sich mögliche Realisationen von X um x scharen. Quantitativ aussagekräftig ist die Fläche zwischen der x-Achse und der Dichtefunktion in einem beliebigen Intervall, die die Wahrscheinlichkeit für eine Realisation der Zufallsvariablen innerhalb des betrachteten Intervalls angibt; und die
• Verteilungsfunktion als Integral über der Dichtefunktion. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert kleiner als x beobachtet wird.

Als Spezialfall von Verteilungen gibt es sogenannte Testverteilungen. Diese dienen der Durchführung von Hypothesentests und werden als geeignete Kombinationen aus einfachen Zufallsvariablen konstruiert.

Beschreibung von Verteilungen mittels Kennzahlen

• der Erwartungswert gibt den Wert an, den die Zufallsvariable der betrachteten Verteilung im Mittel annimmt; er ist also ihr Lageparameter;
• die Varianz ist die durchschnittliche quadratische Abweichung der Realisationen der Zufallsvariablen vom Erwartungswert und stellt ein Maß für die Streuung der Verteilung dar;
• die Schiefe ist ein Maß für den Grad ihrer Asymmetrie; und
• ihre Wölbung gibt an, wie spitz oder flach sie verläuft.