Tschebyscheff-Ungleichung

Tschebyscheff-Ungleichung

  • 5. Februar 2018
  • Posted by: Mika
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Mit der Tschebyscheff-Ungleichung kannst Du eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit vornehmen, mit der der Abstand Deiner Zufallsvariablen von ihrem Mittelwert innerhalb bestimmter Grenzen liegt.

Konkret besagt sie: Die maximale Wahrscheinlichkeit, dass die betragsmäßige Differenz zwischen der Zufallsvariablen und ihrem Mittelwert das k-fache der Standardabweichung übersteigt, ist kleiner oder gleich dem Kehrwert von k^2:

    \begin{equation*} P(|X-\mu| \ge k\cdot \sigma) \le \frac 1 {k^2}, \nobreakspace f\"ur \nobreakspace k>0 \nobreakspace und \nobreakspace \sigma^2 >0 \end{equation*}

Wie kann man die Tschebyscheff-Ungleichung anwenden?

Angenommen, Dich interessiert das Gewicht X von Boxerrüden, von dem Du weißt, dass der Mittelwert \mu=35,2 kg und die Standardabweichung \sigma =3,5 kg betragen.

Die Ungleichung von Tschebyscheff beispielsweise für k=2 angewendet, liefert Dir die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Mindestabweichung vom mittleren Gewicht in Höhe von k \cdot \sigma = 2 \cdot 3,5 kg=7 kg beobachtet wird, als kleiner oder gleich 25\%:

    \begin{equation*} P(|X-\mu| \ge 2 \cdot 3,5) \le \frac 1 {2^2} = \frac 1 4 \quad bzw.\quad P(|X-\mu| \ge 7) \le 0,25 \end{equation*}

In der Statistik möchtest Du oft Werte bestimmen, die nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 \% überschritten werden. Dann gehst Du von der rechten Seite der Ungleichung aus und bestimmst k aus:

    \begin{equation*} \frac 1 {k^2 } = 0,05, \quad also \quad k^2 = 20 \quad und \quad k = 4,4721 \end{equation*}

Einsetzen des errechneten k-Wertes in beide Seiten der Ungleichung ergibt:

    \begin{equation*} P(|X-\mu| \ge 4,4721 \cdot 3,5) \le \frac 1 {4,4721^2} \end{equation*}

bzw.

    \begin{equation*} P(|X-\mu| \ge 15,6523) \le 0,05 \end{equation*}

.

Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Gewicht der Boxerrüden mehr als 15,6524 kg vom Mittelwert nach oben oder unten abweicht, ist also kleiner als 0,05. Anders ausgedrückt, liegt das Gewicht mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\% im Intervall

    \begin{equation*} P(19,54 < X < 50,8524) > 0,95 \end{equation*}

Die Tschebyscheff-Ungleichung trifft keine Annahme bezüglich der Verteilung. Entsprechend sind die von ihr bestimmten Grenzen weiter als die, die Du unter der Annahme etwa der Normalverteilung zu [28,34 kg;42,06 kg] berechnen könntest.

Ihr Vorteil liegt darin, dass sie universell anwendbar ist.