Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit

  • 5. Februar 2018
  • Posted by: Mika
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Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn sie sich nicht gegenseitig beeinflussen. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten jedes der beiden Ereignisses bleibt dann nach Bekanntwerden des anderen Ereignisses unverändert.

Formal hast Du diese Unabhängigkeit gegeben, wenn Du die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von beiden, ihrer Schnittmenge also, als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten darstellen kannst.

    \begin{equation*} P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{equation*}

In einer Studie wurde der höchste Schulabschluss von heute 30-jährigen sowie der ihrer Eltern erhoben. Ein Auszug aus den Ergebnissen lautet:

A: „höchster Schulabschluss: Abitur“ P(A) = 43\%
B: „höchster Schulabschluss der Eltern: Abitur“ P(B) = 36\%
A \cap B: „Befragte und deren Eltern haben als höchsten Schulabschluss Abitur“ P(A \cap B) = 29 \%

Du vermutest, dass ein Zusammenhang zwischen den Ereignissen A und B besteht, dass also Kinder von Abiturienten eher das Abitur haben, als Kinder von Nicht-Abiturienten. Das wäre gegeben, wenn A und B nicht statistisch unabhängig sind.

Du setzt Deine Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) in die Formel für stochastische Unabhängigkeit ein und vergleichst:

Mit:

    \begin{equation*} P(A) \cdot P(B) = 0,43 \cdot 0,36=0,1548 \ne 0,29 = P(A \cap B) \end{equation*}

sind die Ereignisse A und B also nicht stochastisch unabhängig: Es besteht also ein Zusammenhang zwischen der Schulbildung der heute 30-jährigen und der ihrer Eltern.

Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, wird die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A nicht davon beeinflusst, ob Du weißt, dass B oder B^c eingetreten ist; P(A│B) ist dann gleich der Wahrscheinlichkeit P(A│B^c) und beide sind gleich der Einzelwahrscheinlichkeit P(A).

    \begin{align*} P(A|B) = P(A|B^c) = P(A), \quad wenn \nobreakspace A\nobreakspace und\nobreakspace B\nobreakspace stochastisch \nobreakspace unabh\"angig \end{align*}

Viele stochastische Modelle setzen stochastische Unabhängigkeit voraus.