Bedingte Erwartung

Bedingte Erwartung

  • 25. April 2018
  • Posted by: Mika
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Ist \{X(t):t\in T\} Dein stochastischer Prozess und kennst Du seine Realisationen bis (t-1), so fließen die Informationen über den bisherigen Verlauf des Prozesses in Deine Bildung des Erwartungswerts von X(t) ein. Mit der bedingten Erwartung drückst Du genau das aus: Du bildest den Erwartungswert X(t) Deines Prozesses in t unter der Bedingung Deiner Kenntnis des bisherigen Prozessverlaufs.

    \begin{equation*} E[ X(t)|X(t-1)=x_{t-1};...;X(0)=x_0] \end{equation*}

Ein gesunder Labrador nimmt in den ersten Lebensmonaten etwa 1 kg pro Woche an Gewicht zu. Ein Tierarzt, dessen Waage das Gewichtsänderungen in 0,5 kg Schritten anzeigt, notiert für einen seiner vierbeinigen Patienten den folgenden Gewichtsverlauf:

Woche t 1 2 3 4
Gewicht in kg X(1)=7,5 kg X(2)=8,5 kg X(3)=9 kg X(4)=10 kg


Das unbekannte Gewicht des Hundes in der fünften Woche X(5) ist natürlich vom bisherigen Gewichtsverlauf abhängig und die Gewichtserwartung des Tierarztes kommt unter der Bedingung der bisherigen Entwicklung zustande. Ausgehend von den 10 kg in der vierten Woche könnte es sein, dass er für die fünfte Woche ein Gewicht von 11 kg erwartet; möglicherweise wird aber auch der geringe Gewichtszuwachs in der dritten Woche mit in die Überlegungen einbezogen und er erwartet ein Gewicht von 10,5 kg.

Ganz bestimmt aber wird der Erwartungswert unter der Bedingung des bisherigen Gewichtsverlaufs nicht bei 30 kg liegen.

Im allgemeinen Fall stochastischer Prozesse gehen alle bisher bekannten Realisationen mit in die Erwartungsbildung für t und alle weiteren unbekannten Zeitpunkte ein.

Es gibt aber spezielle Fälle der bedingten Erwartung:

Ist der Erwartungswert des Prozesses für zukünftige Zeitpunkte nur von seiner letzten bekannten Realisation abhängig, so sprichst Du von einem Markov-Prozess: Dann ist der Erwartungswert für X(t) bei Kenntnis des bisherigen Prozessverlaufs gleich dem Erwartungswert, den Du bei Kenntnis der vorherigen Realisation bildest:

    \begin{equation*} E[ X(t)|X(t-1)=x_{t-1};...;X(0)=x_0] = E[ X(t)|X(t-1)=x_{t-1}] \end{equation*}

Ein Markov-Prozess ist also ein Prozess mit „kurzem Gedächtnis“, weiter zurückliegende Realisationen wirken sich nicht auf die Erwartungen aus.

Auf Dein Beispiel bezogen wäre das für die fünfte Woche erwartete Gewicht des Labradors nur durch sein Gewicht in der vierten Woche bestimmt.

Ein diskreter Markov-Prozess heißt Markov-Kette.

Eine weitere Unterscheidung der bedingten Erwartungen bezieht sich auf deren Höhe im Vergleich zur letzten Realisation: Ist der Erwartungswert für Deinen Prozess in t gerade seine Realisation in (t-1), so bezeichnet man den Prozess als Martingal:

    \begin{equation*} E[ X(t)|X(t-1)=x_{t-1};...;X(0)=x_0] = x_{t-1} \end{equation*}

Ein ausgewachsener Hund verändert sein Gewicht kaum mehr; das für die nächste Woche erwartete Gewicht des Hundes wird also das in der aktuellen Woche notierte sein.

Liegt der bedingte Erwartungswert E(X(t)) über dem aktuellen Wert x_{t-1}, etwa beim Gewichtsverlauf eines jungen Hundes, so heißt der Prozess Submartingal, im entgegengesetzten Fall (eines kranken Hundes mit erwarteter Gewichtsabnahme) Supermartingal.