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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
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Betrachtest Du n Zufallsvariablen, zwischen denen ein Zusammenhang besteht, bietet es sich an, sie nicht getrennt zu untersuchen, sondern als eine n-dimensionale Zufallsvariable bzw. als n-dimensionalen Zufallsvektor zu betrachten. Dadurch kannst Du den Zusammenhang zwischen den einzelnen Variablen berücksichtigen.
Du untersuchst dann die n-dimensionale Zufallsvariable 
.
Im Fall von zwei abhängigen Zufallsvariablen sprichst Du von bivariaten Zufallsvariablen.
Stell Dir vor, Du sollst im Auftrag des Schulamts eine Erhebung durchführen, wie groß und wie schwer Schüler in den ersten vier Klassen sind. Dann lautet Deine dreidimensionale Zufallsvariable:
und 
sind stetige Zufallsvariablen, die jeden beliebigen Wert innerhalb eines Intervalls annehmen können; 
ist eine diskrete Zufallsvariable, die die möglichen Ausprägungen 1 bis 4 annehmen kann. Oft werden stetige Zufallsvariablen durch Klassenbildung in diskrete überführt.
Für diskrete mehrdimensionale Zufallsvariablen kannst Du die Verteilung durch die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und gemeinsame Verteilungsfunktion beschreiben; die Randverteilung gibt dann die Einzelwahrscheinlichkeiten der 
wieder.
Im Fall von stetigen mehrdimensionalen Zufallsvariablen betrachtest Du die gemeinsamen Dichte- und Verteilungsfunktionen. Als Rand- oder Marginalverteilung von , die Du durch Integrieren über die gesamten Definitionsbereiche aller anderen 
erhältst, bekommt Du auch hier die Einzelverteilung von .
In der Statistik verwendest Du sehr häufig die mehrdimensionale Normalverteilung.