Bernoulli-Kette

Bernoulli-Kette

  • 5. Februar 2018
  • Posted by: Mika
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Von einer Bernoulli-Kette spricht man bei einem Bernouilli-Experiment. Dies ist ein Experiment, das nur zwei mögliche Ausgänge haben kann. Führst Du ein solches Experiment n-mal nacheinander durch, so erhältst Du eine Bernouilli-Kette der Länge n. Viele Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich hierauf zurückführen.

Beispiel für eine Bernoulli-Kette

Als Besitzer einer Drogerie interessierst Du Dich beispielsweise für die Wahrscheinlichkeit, mit der ein neues Parfum in der nächsten Stunde genau einmal verkauft wird. Jeder einzelne Kunde, der Dein Geschäft betritt, kann sich dabei für oder gegen den Kauf des Parfums entscheiden. Du erwartest in der nächsten Stunde n = 10 Besucher. Also kannst Du die Verkäufe als 10-malig durchgeführtes Bernouilli-Experiment „Kaufentscheidung des Kunden“ interpretieren und Deine Bernouilli-Kette besteht aus n= 10 Einzelexperimenten.

Du weißt aus der Marktforschung des Herstellers, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein beliebiger Kunde kauft, p=15\% beträgt, die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht kauft, beträgt demnach (1-p)=85\%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Kunde kauft, die anderen neun aber nicht, beträgt damit:

    \begin{equation*} p^{1} \cdot (1-p)^{9} = 0,15^{1} \cdot 0,85^{9}=0,0347 \end{equation*}

Nun interessiert Dich aber nicht so sehr der Fall, dass der erste Kunde kauft und die anderen nicht, sondern vielmehr die Wahrscheinlichkeit, mit der einer der Kunden im Laufe der Stunde kauft. Mithilfe der Kombinatorik kannst Du die Anzahl der Kombinationen von einem aus zehn Objekten bestimmen; es sind

    \begin{equation*} \left( \begin {array} {11} n\\ k \end{array} \right) =\left( \begin {array} {11} 10\\ 1 \end{array} \right)=10 \end{equation*}

Möglichkeiten, die jeweils mit der oben berechneten Wahrscheinlichkeit eintreten.

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit der im Laufe der Stunde genau ein Kunde kauft:

    \begin{equation*} \left( \begin {array} {11} n\\ k \end{array} \right) \cdot p^{1} \cdot (1-p)^{9}= \left( \begin {array} {11} 10\\ 1 \end{array}\right) \cdot 0,15^{1} \cdot 0,85^{9} = 10 \cdot 0,0347=0,347 \end{equation*}

Diese Formel wird auch als Bernouilli-Formel bezeichnet; in kumulierter Form liegt sie als Binomialverteilung tabelliert vor.