Kombinatorik

Die Kombinatorik stellt Dir Instrumente für die Wahrscheinlichkeiten abzählbarer diskreter Strukturen zur Verfügung. Sie wird heute in vielen Bereichen der angewandten Mathematik eingesetzt.

Als erste Arbeiten der Kombinatorik kannst Du die Überlegungen des Mathematikers Blaise Pascal im 17. Jahrhundert ansehen, der das Glücksspiel des Chevaliers de Méré mit seinen Berechnungen und Analysen unterstützte.

Anwendung von Kombinatorik

Der Chevalier wettete häufig auf das Erreichen einer bestimmten Augensumme beim Werfen mit drei Würfeln. Aus seiner Spielpraxis wusste er, dass die Augensumme 11 öfter erzielt wird, als die Augensumme 12. Andererseits fand er für beide Augensummen je sechs Wurfkombinationen, mit denen sie erreicht werden können:

	mögliche Wurfkombinationen
Augensumme 11	1,5,5	1,4,6	2,4,5	2,3,6	3,4,4	3,3,5
Augensumme 12	1,5,6	2,5,5	2,4,6	3,5,6	3,4,5	4,4,4

Im hier angenommenen Fall des idealen Würfels ist für jeden Wurf jede Augenzahl gleich wahrscheinlich. Allerdings kann man beim Wetten auf die Augensumme dreier Würfel die Augen auf den Einzelwürfeln in beliebiger Reihenfolge erzielen. Daher sind die möglichen Summen der Augenzahlen nicht gleich wahrscheinlich.

Die Augensumme 11 kannst Du beispielsweise durch die Augen 3, 4 und 4 erhalten. Die Augensumme 12 kannst Du dagegen durch Werfen von 3, 4 und 5 jeweils in beliebiger Reihenfolge erzielen. Als unterschiedliche Möglichkeiten ergeben sich also:

Augensumme	erzielt durch:	1. Würfel	2. Würfel	3. Würfel
11	3, 4 und 4	3	4	4
		4	3	4
		4	4	3
12	3, 4 und 5	3	4	5
		3	5	4
		4	5	3
		4	3	5
		5	3	4
		5	4	3

Du kannst also 3 Möglichkeiten zählen, mit drei Würfeln die Augenzahlen 3, 4, und 4 zu erreichen, aber 6 Möglichkeiten, die Augenzahlen 3, 4, und 5 zu erhalten. Der zweite Fall ist also doppelt so wahrscheinlich wie der erste.

Wie bestimmt man die Möglichkeiten?

In der Kombinatorik führst Du interessante Ereignisse (hier: Würfeln einer bestimmten Augensumme) auf die ihnen zugrundeliegenden Elementarereignisse (Würfeln bestimmter Augenzahlen) zurück, um anschließend die Anzahl der günstigen und möglichen Ausgänge zu ermitteln.

Anstelle einfach abzuzählen, wie beim Würfelwurf, hat die Kombinatorik Methoden entwickelt, mit denen Du die Anzahl der möglichen Anordnungen bestimmen kannst, mit denen Du ein aus Elementarereignissen zusammengesetztes Ereignis erzielen kannst. Je nach Situation bestimmst Du die Anzahl der Kombinationen, Variationen oder Permutationen.

Danach bestimmst Du die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse (hier: Augenzahl eines Würfels) und kombinierst diese Wahrscheinlichkeiten durch Multiplikation zur Wahrscheinlichkeit des interessanten Ereignisses (Summe der Augenzahlen dreier Würfel). Die Kombinationen der Elementarereignisse bezeichnest Du als Bernoulli-Kette.

Die Anzahl der möglichen Anordnungen, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Bernoulli-Kette, ergibt dann die Wahrscheinlichkeit für das Dich interessierende Ereignis.