Kreuztabelle / Kontingenztafel

Kreuztabelle / Kontingenztafel

  • 26. Januar 2017
  • Posted by: Mika
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Eine Kreuztabelle oder Kontingenztafel ist eine zweidimensionale Gegenüberstellung der Häufigkeiten von zwei Merkmalen X und Y. Es gibt dabei n bzw. m Ausprägungen, die beliebiges Skalenniveau aufweisen dürfen.

Als Maß für den Zusammenhang beider Merkmale kannst Du den Kontingenzkoeffizienten, auch \chi^2-Koeffizienten genannt, berechnen. Anschließend testest Du damit, ob die beiden Variablen unabhängig voneinander sind oder ob ein Zusammenhang zwischen ihnen besteht.

Vor den Landtagswahlen in den Bundesländern Baden-Württemberg X_1 und Rheinland-Pfalz X_2 wurde in beiden Ländern repräsentative Umfragen bei je 1000 Personen durchgeführt, welche Partei Y sie wählen würden, „…falls am Sonntag Wahl wäre“. Die Häufigkeiten n_{ij}, mit denen im Land X_i die Partei Y_j angegeben wurde, sind im Inneren der Tabelle dargestellt. Am Rand findest Du die Häufigkeiten n_{i\cdot} als Anzahl der Befragten aus dem Bundesland X_i bzw. n_{\cdot j} als Häufigkeit, mit der die Partei Y-j insgesamt genannt wurde:

Erhobene Daten n_{ij}
CDU SPD Grüne AfD FDP Linke Sonstige Summe
Y_1 Y_2 Y_3 Y_4 Y_5 Y_6 Y_7 n_{i\cdot}
Baden-
Württemberg X_1 302 120 323 108 80 37 30 1.000
Rheinland-
Pfalz X_2 358 347 62 109 64 41 19 1.000
Summe n_{\cdot j} 660 467 385 217 144 78 49 2.000

 

Die Grafik zeigt die erhobenen Werte:

Wahl

Wie stark beeinflusst die Landeszugehörigkeit die Wahlentscheidung?

Aus diesen Daten möchtest Du analysieren, ob und wie stark die Wahlentscheidung der Bürger durch ihre Landeszugehörigkeit beeinflusst wird. Dazu berechnest Du ein Maß für den Zusammenhang der beiden Merkmale.

Du betrachtest die Wahrscheinlichkeiten p_{ij}, im Bundesland X_i für die Partei Y_j zu votieren und vergleichst sie mit den Einzelwahrscheinlichkeiten p_{i\cdot}, im Bundesland X_i zu wohnen sowie p_{\cdot j}, die Partei Y_j zu wählen.

Relative Häufigkeiten als Schätzwerte

Als Schätzwerte für diese Wahrscheinlichkeiten können die relativen Häufigkeiten dienen, so dass:

    \begin{equation*} \hat p_{ij} = \frac {n_{ij}} n , \quad \hat p_{i \cdot} = \frac {n_{i \cdot}} n \quad und \quad \hat p_{\cdot j} = \frac {n_{\cdot j}} n \end{equation*}

Falls ein Zusammenhang zwischen X und Y besteht, ist es für die Wahlentscheidung eines Bürgers bedeutsam, in welchem Bundesland er wohnt.

Falls die Merkmale X: „Bundesland“ und Y: „Partei“ dagegen unabhängig voneinander sind, ist die Wahrscheinlichkeiten für die Entscheidung, Y_j zu wählen, nicht davon abhängig, in welchem Land X_i die Umfrage stattfindet und umgekehrt. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten, für Y_j zu stimmen, vorausgesetzt man wohnt im Land X_i, sind dann gleich den Einzelwahrscheinlichkeiten:

    \begin{equation*} P (X_i | Y_j) = P(X_i) \quad und \quad P(Y_j|X_i) = P(Y_j),\quad f\"ur\quad beliebige \quad i,j \end{equation*}

Dann kannst Du die Wahrscheinlichkeit p_{ij} für das Auftreten der Kombination der Merkmalsausprägungen X_i und Y_j als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten darstellen:

    \begin{equation*} p_{ij }= P[(X_{i}) und (Y_{j})] = {P(X_{i})} \cdot {P(Y_{j})}}= p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j} \end{equation*}

Setzt Du in diese Formel die Schätzwerte \hat p_{i\cdot} und \hat p_{\cdot j} ein und multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten mit der Gesamtzahl n der Beobachtungen, so erhältst Du Schätzwerte \hat n_{ij} für die zu erwartende Anzahl von Stimmen, falls kein Zusammenhang zwischen X und Y bestehen würde:

    \begin{equation*} \hat n_{ij} = n \cdot \hat p_{ij} = n \cdot \frac {n_{i \cdot}} n \cdot \frac {n_{\cdot j} } n = \frac {n_{i \cdot} \cdot n_{\cdot j} } n \end{equation*}

Theoretische Kontingenztabelle, falls kein Zusammenhang besteht

Damit kannst Du eine zweite Kontingenztabelle mit Schätzwerten \hat n_{ij} erstellen. Sie geben Dir an, mit welchen Häufigkeiten Du rechnen könntest, falls kein Zusammenhang zwischen den Variablen X und Y bestünde:

Geschätzte Daten \bar n_{ij}, falls kein Zusammenhang bestünde
CDU SPD Grüne AfD FDP Linke Sonstige Summe
Y_1 Y_2 Y_3 Y_4 Y_5 Y_6 Y_7 n_{i\cdot}
Baden-
Württemberg X_1 330 234 193 109 72 39 25 1.000
Rheinland-
Pfalz X_2 330 234 193 109 72 39 25 1.000
Summe n_{\cdot j} 660 467 385 217 144 78 49 2.000

Du hast damit für jede Kombination von X und Y zum einen die beobachtete Häufigkeit n_{ij} sowie eine geschätzte Häufigkeit \hat n_{ij} für den Fall zur Verfügung, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen besteht. Je größer die Unterschiede zwischen n_{ij} und \hat n_{ij} sind, umso mehr sprechen Deine Daten für einen Zusammenhang von X und Y und gegen die Vermutung der Unabhängigkeit.

Summierst Du jetzt die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen n_{ij} und \hat n_{ij}, zur Normierung dividiert durch \hat n_{ij}, so erhältst Du die quadratische Kontingenz \chi^2 Deiner Daten:

    \begin{equation*} \chi^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^m \displaystyle \sum_{j=1}^n \frac { (n_{ij} -\hat n_{ij})^2} {\hat n_{ij}} \end{equation*}

Der Kontingenzkoeffizient ist \chi^2-verteilt mit \nu=(n-1) \cdot (m-1) Freiheitsgraden und Du kannst mit ihm die folgenden Hypothesen testen:

H_0: Es besteht kein Zusammenhang zwischen dem Bundesland und der Wahlentscheidung für eine Partei.

H_1: Es besteht ein signifikanter Zusammenhang zwischen dem Bundesland und der Wahlentscheidung für eine Partei.

Die Testentscheidung

Jetzt setzt Du die Werte Deines Beispiels ein und vergleichst mit dem kritischen Wert bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von \alpha = 5\%. Mit

    \begin{equation*} \chi^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^m \displaystyle \sum_{j=1}^n \frac { (n_{ij} -\hat n_{ij})^2} {\hat n_{ij}} = 296,49 > 14,4494 = \chi^2_{kr} \end{equation*}

verwirfst Du die Nullhypothese und schließt, dass ein signifikanter Zusammenhang zwischen dem Bundesland und der Entscheidung für eine Partei besteht.

Als Maß des Zusammenhangs sagt Dir \chi^2 allerdings wenig aus, da die Höhe des Kontingenzkoeffizienten stark durch die Anzahl der Merkmalsausprägungen und die Zahl der Beobachtungen beeinflusst wird.

Daher schlug Pearson folgende Normierung vor:

    \begin{equation*} C = \sqrt { \frac {\chi^2} { n + \chi^2}} \end{equation*}

C nimmt maximal den Wert C_{max} an, wobei C_{max} durch die kleinere Anzahl der Merkmalsausprägungen von X und Y bestimmt wird:

    \begin{equation*} C_{max} = {\sqrt { \frac {k-1} {k}}, \quad mit \quad k=min(m,n) \end{equation*}

Dividierst Du nun noch C durch C_{max}, so erhältst Du einen korrigierter Kontingenzkoeffizient, der auf das Intervall zwischen Null und eins beschränkt ist, wie für Zusammenhangsmaße üblich:

    \begin{equation*} C_{korr} = \frac C {C_{max}} = \sqrt { \frac {k} {k-1}} \cdot \sqrt { \frac {\chi^2} { n + \chi^2}} , \quad mit \quad k = min(m,n) \end{equation*}

Für Deine Wahluntersuchung ergibt sich C_{korr}= 0,5081. Das Mass für den Zusammenhang zwischen X und Y in Deiner Untersuchung liegt also knapp über 50 Prozent.