Cramér-von-Mises-Test

Cramér-von-Mises-Test

  • 26. April 2018
  • Posted by: Mika
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Mit dem Cramér-von Mises-Test vergleichst Du zwei Verteilungen und prüfst die Hypothese, dass beide gleich sind. Als Prüfgröße \omega^2 berechnest Du dazu das Integral der quadratischen Abweichungen beider Verteilungen:

    \begin{equation*} \omega^2 = \int_{-\infty}^{\infty} [F_1(x) - F_2(x)]^2 \nobreakspace dF_2(x) \end{equation*}

Du kannst den Test auf zwei verschiedene Situationen anwenden:

  • Im Ein-Stichproben-Fall testest Du, ob die empirische Verteilung Deiner Stichprobe mit der Annahme einer theoretischen Verteilung vereinbar ist. Dann ist F_1(x) die empirische Verteilung Deiner Stichprobe und F_2(x) die angenommene theoretische Verteilung.
  • Im Zwei-Stichproben-Fall vergleichst Du die beiden empirischen Verteilungen Deiner Stichproben.

Ein-Stichproben-Fall:

Stell Dir vor, Du erhebst in einer Stichprobe das Alter der Studienanfänger an Deiner Uni und möchtest testen, ob Deine Annahme einer Normalverteilung mit den Daten vereinbar ist. Du erhältst die folgenden Altersangaben, der Größe nach geordnet:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x_i 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20 24
z_i -1,341 -0,853 -0,853 -0,366 -0,366 -0,366 0,122 0,122 0,122 0,610 0,610 2,560
F_{NV}(z_i) 0,090 0,197 0,197 0,357 0,357 0,357 0,549 0,549 0,549 0,729 0,729 0,995

Du standardisierst nun Deine x_i, indem Du ihren Mittelwert bar x von ihnen subtrahierst und die Differenz durch die Standardabweichung dividierst; anschließend ermittelst Du die Werte der Standardnormalverteilung an den Stellen z_i.

Dann berechnest Du den Wert der Testgröße

    \begin{equation*} T=\omega^2_n = \frac {1} {12 n}+ \sum_{i=1}^n \left[ \frac {2i - 1}{2n} - F(x_i)\right]^2 \end{equation*}

Für Dein Beispiel erhältst Du T=0,065.

Diesen Prüfwert vergleichst Du mit dem kritischen Wert aus der testspezifischen Tabelle und verwirfst die Nullhypothese, wenn der Prüfwert größer als der kritische Wert zum Niveau \alpha ist.

Mit T=0,065 < 0,214 =T_{kr} verwirfst Du die Nullhypothese bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5\% nicht.
Zwei-Stichproben-Fall:

Für den Zwei-Stichproben-Fall unterstellt der Test, dass keine Bindungen, also das Auftreten von gleichen Werten, auftreten. Erhebst Du etwa das Alter der weiblichen und männlichen Studienanfänger getrennt voneinander, so kannst Du mit diesem Test die Verteilung der beiden Stichproben vergleichen.

Du hast etwa bei einer Erhebung vermerkt, ob es sich um einen Studentin (w) oder einen Studenten (m) handelt. Deine Stichprobe besteht beispielsweise aus n=4 Studentinnen und m=3 Studenten, deren Alter in eine gemeinsame Rangordnung gebracht wurde:

i gemeinsame Rangordnung 1 2 3 4 5 6 7
x_i 16 17 18 19 20 21 24
Geschlecht w w m m w m w
r^w_i Rangordnung
Studentinnen		 1 2 3 4
r^m_j Rangordnung Studenten 1 2 3

Daraus berechnest Du als Prüfgröße

    \begin{equation*} T=n \omega^2 = \frac {U} {n\cdot m\cdot(n+m)}- \frac {4\cdot m\cdot n-1}{6\cdot (m+n)} \end{equation*}

mit

    \begin{equation*} U=n \cdot \sum_{i=1}^n(r^w_i-i)^2 + m \cdot \sum_{j=1}^m(r^m_j-j)^2 \end{equation*}

r^w_i stellt den Rangwert der i-ten Studentin innerhalb der weiblichen Stichprobe, r^m_j den des j-ten Studenten innerhalb der männlichen Stichprobe dar.

Für Dein Beispiel erhältst Du

    \begin{equation*} U=4 \cdot ((1-1)^2 + (2-2)^2 + (5-3)^2 + (7-4)^2 + 3 \cdot ((1-3)^2 + (2-4)^2 + (3-6)^2=103 \end{equation*}

und damit

    \begin{equation*} T=\frac {103}{3 \cdot 4 \cdot 7} - \frac {4 \cdot 12 - 1}{6 \cdot 7} = 1,2262 - 1,119 = 0,1071 \end{equation*}

Vergleichst Du den Wert der Prüfgröße mit dem kritischen Wert aus der Tabelle des Cramér-von-Mises-Test zum Niveau von $\alpha=0,05 und n=4, so kannst Du mit

    \begin{equation*} T_{pr} = 0,1071 < 0,191 = T_{kr} \end{equation*}

die Nullhypothese, die Verteilungen seien gleich, nicht verwerfen.