Levene-Test

Levene-Test

  • 26. April 2018
  • Posted by: Mika
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Der Levene-Test untersucht k Stichproben von unabhängigen, stetig- (am besten normal-) verteilten Zufallsvariablen X_i, i=1,…,k, auf Gleichheit ihrer Varianzen. Die Umfänge der Stichproben dürfen unterschiedlich groß sein.

Im Gegensatz zum Bartlett-Test reagiert der Levene-Test robust auf Abweichungen von der Normalverteilung.

Er prüft die Nullhypothese

    \begin{equation*} H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2=\nobreakspace ... \nobreakspace =\sigma_k^2 \end{equation*}

gegen die Alternativhypothese

    \begin{equation*} H_1: \sigma_i^2 \ne \sigma_j^2 \nobreakspace f\"ur \nobreakspace mindestens \nobreakspace ein \nobreakspace Paar \nobreakspace i,j \end{equation*}

Stell Dir vor, Du betrachtest die jeweils am Jahresende notierten Wechselkurse dreier Währungen gegenüber dem Euro und möchtest prüfen, ob man gleiche Varianzen für alle drei unterstellen kann.

Wechselkurse am Jahresende
EUR/USD
x_{1j}		 EUR/CHF
x_{2j}		 EUR/GBP
x_{3j}
2018 1,2366 1,1689 0,8857
2017 1,1994 1,169 0,8879
2016 1,0517 1,0711 0,8524
2015 1,086 1,0877 0,7364
2014 1,02098 1,2042 0,7764
Mittelwert 1,118936 1,14018 0,82776

Die Grafik visualisiert Dir den Verlauf der Wechselkurse:

Levene

Ansatzpunkt des Tests sind die absoluten Abweichungen y_{ij} der Stichprobenwerte x_{ij} vom jeweiligen Stichprobenmittel \bar x_{i \cdot}:

    \begin{equation*} y_{ij} = |x_{ij} - x_{i \cdot}|, \quad mit \quad i=1,..,k \nobreakspace und \nobreakspace j=1,..,n_k \end{equation*}

Aus diesen absoluten Abweichungen berechnest Du die Stichprobenmittel \bar y_i und das Gesamtmittel \bar y

    \begin{equation*} \bar y_i = \frac 1 {n_i} \cdot \sum_{j=1}^{n_i} y_{ij} \quad und \quad \bar y = \frac 1 {n} \cdot \sum_{i=1}^{m} n_i \cdot \bar y_{i \cdot} \quad mit \quad n=\sum_{i=1}^m n_i \end{equation*}

Absolute Abweichung der Wechselkurse von ihrem Mittel
EUR/USD
y_{1j}		 EUR/CHF
y_{2j}		 EUR/GBP
y_{3j}
2018 0,117664 0,02872 0,05794
2017 0,080464 0,02882 0,06014
2016 0,067236 0,06908 0,02464
2015 0,032936 0,05248 0,09136
2014 0,097956 0,06402 0,05136
Mittelwert
\bar y_{i \cdot}		 0,0792512 0,048624 0,057088
Gesamtmittelwert
\bar y		 0,0616544

Damit bestimmst Du die gewichteten Varianzen zwischen (L_1) und innerhalb (L_2) den absoluten Abweichungen der Stichproben.

    \begin{equation*} L_1= \frac 1 {k-1} \cdot\sum_{i=1}^k n_i \cdot (\bar y_{i \cdot}- \bar y)^2 \end{equation*}

und

    \begin{equation*} L_2= \frac 1 {n-k} \cdot\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar y_{i \cdot})^2 \end{equation*}

Deine Prüfgröße L erhältst Du als Quotienten aus L_1 und L_2; sie ist unter der Nullhypothese F-verteilt, mit ((k-1);(n-k)) Freiheitsgraden.

Die Nullhypothese wird verworfen, wenn L größer als der kritische Wert der F-Verteilung zum gewählten Signifikanzniveau ist.
Für Dein Beispiel erhältst Du:

    \begin{equation*} L_1= \frac 1 2 [5 \cdot(0,0793 - 0,0616)^2 + 5 \cdot(0,0486 - 0,0616)^2+ 5 \cdot(0,0571 - 0,0616)^2] \end{equation*}

und

    \begin{equation*} L_2= \frac 1 {12} [(0,1177 -0,0793)^2 + ... + (0,0514 - 0,0571 )^2]= 0,0006537 \end{equation*}

Damit lautet Deine Testentscheidung:

    \begin{equation*} L = \frac {L_1}{L_2}= \frac {0,00125073} {0,00065378} = 1,9131 < 3,8853 = F_{0,95}(2;12) \end{equation*}

Die Nullhypothese der einheitlichen Varianz wird nicht verworfen, denn Deine Stichproben geben dazu nach dem Levene-Test keinen Anlass.

Falls Normalverteilung der Grundgesamtheiten gegeben ist, solltest Du Dich beim Test auf Varianzhomogenität des Bartlett-Tests bedienen, der unter dieser Voraussetzung trennschärfer ist. Liegt keine Normalverteilung vor, verhält sich der Levene-Test robuster und ist dann vorzuziehen.