Bartlett-Test

Bartlett-Test

  • 26. April 2018
  • Posted by: Mika
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Mit dem Bartlett-Test kannst Du k Stichproben von normalverteilten Zufallsvariablen
X_i, i=1,…,k, daraufhin untersuchen, ob sie die gleiche Varianz besitzen. Die Varianzanalyse beispielsweise benötigt diese Voraussetzung der Varianzhomogenität.

Deine Hypothesen lauten:

    \begin{equation*} H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2=\nobreakspace ... \nobreakspace =\sigma_k^2 \end{equation*}

gegen

    \begin{equation*} H_1: nicht \nobreakspace alle \nobreakspace Varianzen \nobreakspace sind\nobreakspace gleich \end{equation*}

Die Stichproben müssen nicht vom gleichen Umfang sein, aber Du benötigst mindestens 5 Beobachtungen für jede Stichprobe: n_i \ge 5 für i = 1,…,k.

Dann kannst Du aus jeder Stichprobe s_i^2 als Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit aus der i-ten Stichprobe berechnen,

    \begin{equation*} s_i^2 = \frac 1 {(n_i-1)} \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij}-\bar x_{i\cdot})^2, \quad mit \quad \bar x_{i \cdot}= \sum_{j=1}^{n_i} x_{ij} \end{equation*}

sowie s_I^2 als gewichtete Mittelwert der s_i^2 über alle Stichproben:

    \begin{equation*} s_I^2 = \frac 1 {(n-k)}\sum_{i=1}^k (n_i-1)\cdot s_i^2, \quad mit \quad n = \sum_{i=1}^k n_i \end{equation*}

Bartlett entwickelte daraus eine Prüfgröße, die die logarithmierte durchschnittliche (gepoolte) Varianz mit der Summe der logarithmierten Varianzschätzungen der einzelnen Stichproben vergleicht; er zeigte, dass diese Prüfgröße \chi^2-verteilt ist, mit \nu=(k-1) Freiheitsgraden.

    \begin{equation*} \chi^2_{pr}= \frac 1 C [(n-r) \cdot ln \nobreakspace s_I^2 - \sum_{i=1}^k (n_i - 1) \cdot ln \nobreakspace s_i^2] \end{equation*}

wobei

    \begin{equation*} C = 1 + \frac 1 {3 \cdot (k-1)} \cdot \left [\sum_{i=1}^k \nobreakspace \frac 1 {n_i-1} - \frac 1 {n-r} \right ] \end{equation*}

Stell Dir vor, Du möchtest die Schwankungen der Zuhörerzahlen in drei Vorlesungen miteinander vergleichen, für die Du Normalverteilung unterstellen kannst.

Du notierst also die Hörerzahlen in aufeinanderfolgenden Wochen und berechnest für jede Vorlesung die mittlere Hörerzahl und die Stichprobenvarianz:

Allgemeine VWL Statistik Marketing
n_1 14 n_2 12 n_3 15
\bar x_1 135,07 \bar x_2 31,33 \bar x_2 167,14
s_1 ^2 491,92 s_2 ^2 254,06 s_3 ^2 504,13

Als gewichteten Mittelwert der Stichprobenvarianzen erhältst Du daraus: s_I^2= 427,56
Durch Einsetzen in die Formel der Prüfgröße erhältst Du:

    \begin{equation*} \chi^2_{pr}= \frac {1,597}{1,0355} =1,5422 \end{equation*}

Mit

    \begin{equation*} \chi^2_{pr}< \chi^2_{0,95}(2)=5,9915 \end{equation*}

verwirfst Du die Nullhypothese nicht, die Varianzen der Grundgesamtheiten seien gleich.

Der Bartlett-Test kann nur angewendet werden, wenn Du Stichproben aus normalverteilten Zufallsvariablen betrachtest; er reagiert empfindlich auf Abweichungen dieser Voraussetzung und Du solltest Dich dann für den robusteren Levene-Test entscheiden. Ist die Voraussetzung der Normalverteilung erfüllt, so besitzt der Bartlett-Test eine größere Trennschärfe als der Levene-Test.