Cramers V (Cramérs Index)

Cramers V (Cramérs Index)

  • 30. Oktober 2017
  • Posted by: Mika
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Cramers V ist ein Maß für den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen beliebigen Skalenniveaus. Genauso wie Pearsons Kontingenzkoeffizient geht es vom Kontingenzkoeffizienten \chi^2 aus und normiert diesen auf das Intervall zwischen Null und Eins.

Erwachsene Personen wurden beispielsweise in die Altersgruppen unter 45 Jahre und 45 Jahre oder älter eingeteilt und nach Ihren Urlaubspräferenzen befragt. Sie sollten angeben, ob sie lieber in den Winter- oder den Sommerurlaub fahren oder Städtereisen machen. Deine Aufgabe ist es, den Zusammenhang zwischen Altersgruppe und Urlaubspräferenz zu messen.

Dabei ergaben sich die folgenden Anzahlen:

Urlaubsart Altersgruppe Sommerurlaub Winterurlaub Städtereisen Summe
n_{ij} n_{1j} n_{2j} n_{3j} n_{cdot j}
unter 45 n_{i1} 27 23 12 62
45 und älter n_{i2} 34 22 19 56
Summe n_{i cdot } 61 45 31 118

Diesen beobachteten Häufigkeiten stellst Du die zu erwartenden Häufigkeiten gegenüber, die sich ergäben, falls zwischen Altersgruppe und Urlaubsart kein Zusammenhang bestünde. Dann ergäben sich die Häufigkeiten nämlich als Produkt der Randhäufigkeiten, dividiert durch die Gesamtanzahl:

    \begin{equation*} \hat n_{ij} = \frac {n_{i \cdot} \cdot n_{ \cdot j}} n \end{equation*}

Aufstellen der Unabhängigkeitstabelle

Urlaubsart Altersgruppe Sommerurlaub Winterurlaub Städtereisen Summe
\hat n_{ij} \hat n_{1j} \hat n_{2j} \hat n_{3j} \hat n_{\cdot j}
unter 45 n_{i1} 32,05 23,64 16,29 62
45 und älter \hat n_{i1} 28,95 21,36 14,71 56
Summe \hat n_{i2} 61 61 45 118

Die Grafik zeigt die Unterschiede zwischen den beobachteten und im Fall von Unabhängigkeit zu erwartenden Häufigkeiten:

Cramers-V

Anschließend kannst Du den \chi^2-Koeffizienten als Summe der quadrierten Differenzen zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten, jeweils dividiert durch die erwarteten Häufigkeiten, berechnen:

    \begin{equation*} \chi^2 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m \frac { (n_{ij} -{\hat n_{ij})^2}} {\hat n_{ij}} \end{equation*}

Für Deine Erhebung erhältst Du \chi^2 = 4,0930.

Dieser Wert lässt sich schwer interpretieren, da er nach oben hin unbegrenzt und von der Anzahl der Merkmalsausprägungen und der Beobachtungen abhängig ist.

Cramers V als normierter \chi^2-Koeffizient

Cramers V normiert ihn durch die folgende Umformung auf das Intervall zwischen Null und Eins:

    \begin{equation*} V = \sqrt {\frac {\chi^2 } { n \cdot (c-1)} } = \sqrt {\frac {4,0930 } { 118 \cdot 1}} = 0,1862 \end{equation*}

In der Formel bezeichnet n die Gesamtzahl der Befragten, c = min(k,m) ist die kleinere Anzahl der Merkmalsausprägungen. Mit einem Wert des Zusammenhangmaßes von 0,1862 besteht demnach ein geringer Zusammenhang zwischen Altersgruppe und Urlaubspräferenz.